プラントをDCモータに限定して、電圧(PWMなど)で速度制御する場合を考えます．
今回は、PID制御とI+PD制御について伝達関数を求めます．

1. PID制御の場合

このシステムのブロック線図は、

記号	L	R	Ke	J
定義・単位	電機子インダクタンス [H]	電機子抵抗 [Ohm]	誘起電圧定数 [V/(rad/s)] トルク定数 [Nm/A] ※ 両者等しい	モータ軸イナーシャ [kg m^2]

これを等価変換すると、バネマスダンパ系にPID制御を適用した場合と同等のシステムと考えられます．

この時の負荷トルクTd[Nm]および速度指令値ω*[rad/s]に対する応答は、

\[ \omega = \frac{K_e K_d s^2+K_e K_p s+K_e K_i}{LJs^3+(RJ+K_e K_d)s^2+(K_e^2+K_e K_p)s+K_e K_i}\omega^{*} - \frac{s}{LJs^3+(RJ+K_e K_d)s^2+(K_e^2+K_e K_p)s+K_e K_i} (Ls+R)Td \]

2. I+PD制御の場合

ブロック線図は、

これを同様に等価変換すると

この時の負荷トルクTd[Nm]および速度指令値ω*[rad/s]に対する応答は、

\[ \omega = \frac{K_e K_i}{LJs^3+(RJ+K_e K_d)s^2+(K_e^2+K_e K_p)s+K_e K_i}\omega^{*} - \frac{s}{LJs^3+(RJ+K_e K_d)s^2+(K_e^2+K_e K_p)s+K_e K_i}(Ls+R)Td \]

となります．

同じ$ K_p, K_d, K_i $のパラメータを使った場合で比較すると、

PID制御と比較してI+PD制御は

  ・ 目標追従の面で少しおとなしい応答

  ・ 外乱に対しては同じ応答性を有する

といえそう．

その分、逆に、その分、$ K_p, K_d, K_i $をもう少し過激にチューニングして、

外乱に対する応答を良くする考え方もできるのではないだろうか？

I+PD制御という構成は状態フィードバック制御で良く使われる考えだと思います．