1状態1入力システムに対して定常偏差を補償できるよう
状態フィードバック + 積分制御する系を考えます[1]

\[ \frac{d}{dt}\binom{z}{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -a \end{bmatrix}\binom{z}{x}+\binom{0}{K}u \]

この系に対して最適制御入力を求める
(※ この時プラントは $ \tau = 1/a $, ゲイン $ 1/a $ の1次遅れ系)

\[J = \int_{0}^{\infty}\left \{ (z, x)\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & q \end{bmatrix} \binom{z}{x}+ru^2\right \}dt\]

この方程式を満たす対称正定行列 Pはリカッチ方程式
\[A^T P+PA+Q-PBR^{-1}B^TP=0\]
を満たす。^[1] ($ A\equiv \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -a \end{bmatrix}$ ,$ B\equiv  \binom{0}{K}$)
ただし、
\[P\equiv \begin{bmatrix} X_1 & X_2\\ X_2 & X_3 \end{bmatrix}, X_1,X_2,X_3>0\]

これを解いていくと、
\[\begin{bmatrix} -\frac{K^2X_2^2}{r}+1 & \frac{K^2X_2X_3}{r}-aX_2+X_1\\ \frac{K^2X_2X_3}{r}-aX_2+X_1 & -\frac{K^2X_3^2}{r}+2X_2-2aX_3+q \end{bmatrix}=0\]
\[P = \frac{1}{K}\begin{bmatrix} \sqrt{a^2r+2r^{\frac{1}{2}}+q} & \sqrt{r} \\ \sqrt{r} & -ar+ \sqrt{a^2r^2+2r^{\frac{3}{2}}+rq} \end{bmatrix}\]
が求まる。

したがって、最適制御フィードバックゲインは
\[FB=-R^{-1}B^TP\\ =\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{r}} & a-\sqrt{a^2+\frac{2}{\sqrt{r}}+\frac{q}{r}} \end{bmatrix}\]
このときPI制御のゲイン $ K_p, K_i $と比較すると以下のように一致する.
\[K_p = - a+\sqrt{a^2+\frac{2}{\sqrt{r}}+\frac{q}{r}}\]
\[K_i = \frac{1}{\sqrt{r}}\]

サーボ系で考える場合、目標の与え方によってI+P制御となったり、PI制御となったり違いが出ます．

1. 通常の状態フィードバック(I+P制御相当):
\[u=\begin{bmatrix} K_i & K_p \end{bmatrix}\left(\binom{r}{0}-\binom{z}{x}\right)\]

2. PI制御相当(のはず):
\[u=\begin{bmatrix} K_i & K_p \end{bmatrix}\left(\binom{r}{r}-\binom{z}{x}\right)\]

参考

[1]: Integral action in state feedback control - Prof. Alberto Bemporad
        http://cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/teaching/ac/pdf/08-integral-action.pdf

[2] : 制御工学 (JSMEテキストシリーズ) など